Перенос в уравнении через равно при умножении и делении

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Перенос в уравнении через равно при умножении и делении

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, – правой частью уравнения.

  1. Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
  2. Решить уравнение.
  3. Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

${f(x)}/{g(x)}; g(x)≠0$

2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.

$√{g(x)}; g(x) ≥ 0$.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

${f(x)}/{√{g(x)}}; g(x) > 0$

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

$log_{f(x)}g(x)\table\{\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$, где $а$ – положительное число, отличное от $1$, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log_{а}bm=mlog_{a}b;$

$log_{am}b={1}/{m}log_{a}b.$

$log_{an}bm={m}/{n}log_{a}b$

Пример:

$log_{3}3{10}=10log_{3}3=10;$

$log_{53}7={1}/{3}log_{5}7;$

$log_{37}45={5}/{7}log_{3}4;$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b∙log_{c}d=log_{c}b∙log_{a}d$, если $a, b, c$ и $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c(log_{a}b)=b{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

– Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=ab$ и $х > 0$

Пример:

$log_{2}x=3$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

$log_{2}x=log_{2}23$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

$x = 8$

Ответ: $х = 8$

– Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения и учитываем ОДЗ:

$\table\{\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

Пример:

$log_{3}(x2-3x-5)=log_{3}(7-2x)$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

$x2-3x-5=7-2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

$x2-x-12=0$

$x_1=4,x_2= -3$

Проверим найденные корни по условиям $\table\{\ x2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

Ответ: $х=-3$

В данном методе надо:

  1. Записать ОДЗ уравнения.
  2. По свойствам логарифмов добиться того, чтобы в уравнении получились одинаковые логарифмы.
  3. Заменить $log_{a}f(x)$ на любую переменную.
  4. Решить уравнение относительно новой переменной.
  5. Вернутся в п.3, подставить вместо переменной значение и получить простейшее уравнение вида: $log_{a}x=b$
  6. Решить простейшее уравнение.
  7. После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо поставить их в п.1 и проверить условие ОДЗ.

Пример:

Решите уравнение $log_{2}√x+2log_{√x}2-3=0$

Решение:

1. Запишем ОДЗ уравнения:

$\table\{\ х>0,\text”так как стоит под знаком корня и логарифма”;\ √х≠1→х≠1;$

2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:

$log_{2}√x+{2}/{log_{2}√x}-3=0$

3. Далее сделаем замену переменной $log_{2}√x=t$

4. Получим дробно – рациональное уравнение относительно переменной t

$t+{2}/{t}-3=0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.

${t2+2-3t}/{t}=0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$t2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

$t2-3t+2=0$

$t_1=1; t_2=2$

6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:

$log_{2}√x=1$, $log_{2}√x=2$

Прологарифмируем правые части уравнений

$log_{2}√x=log_{2}2$, $log_{2}√x=log_{2}4$

Приравняем подлогарифмические выражения

$√x=2$, $√x=4$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.

$\{\table\ 4 >0; \4≠1;$

Первый корень удовлетворяет ОДЗ.

$\{\table\ 16 >0; \16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $4; 16$

  • Уравнения вида $log_{a2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.

Дробно рациональные уравнения

  • Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
  • Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

  1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.
  • Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.

Показательные уравнения

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

$ax=b$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$an·am=a{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$an:am=a{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(an)m=a{n∙m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)n=an·bn$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})n={an}/{bn}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a{-n}={1}/{an}$

${a{-n}}/{b{-k}}={bk}/{an}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$√n{ak}=a{{k}/{n}}$

Виды показательных уравнений:

1. Простые показательные уравнения:

а) Вида $a{f(x)}=a{g(x)}$, где $а >0, a≠1, x$ – неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.

$f(x)=g(x)$

b) Уравнение вида $a{f(x)}=b, b>0$

Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается

$log_{a}a{f(x)}=log_{a}b$

$f(x)=log_{a}b$

2. Метод уравнивания оснований.

3. Метод разложения на множители и замены переменной.

  • Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a{f(x)}$.
  • Сделать замену переменной $a{f(x)}=t, t > 0$.
  • Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
  • Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Пример:

Решите уравнение $2{3x}-7·2{2x-1}+7·2{x-1}-1=0$

Решение:

По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2x.

$(2x)3-{7·(2x)2}/{2}+{7·2x}/{2-1}=0$

Сделаем замену переменной $2x=t; t>0$

Получаем кубическое уравнение вида

$t3-{7·t2}/{2}+{7·t}/{2}-1=0$

Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей

$2t3-7·t2+7·t-2=0$

Разложим левую часть уравнения методом группировки

$(2t3-2)-(7·t2-7·t)=0$

Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$

$2(t3-1)-7t(t-1)=0$

Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов

$2(t-1)(t2+t+1)-7t(t-1)=0$

Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед

$(t-1)(2t2+2t+2-7t)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t2+2t+2-7t=0$

Решим первое уравнение

$t_1=1$

Решим второе уравнение через дискриминант

$2t2-5t+2=0$

$D=25-4·2·2=9=32$

$t_2={5-3}/{4}={1}/{2}$

$t_3={5+3}/{4}=2$

Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения

$2x=1; 2x={1}/{2}; 2x=2$

$2x=20; 2x=2{-1}; 2x=21$

$х_1=0; х_2=-1; х_3=1$

Ответ: $-1; 0; 1$

4. Метод преобразования в квадратное уравнение

  • Имеем уравнение вида $А·a{2f(x)}+В·a{f(x)}+С=0$, где $А, В$ и $С$ – коэффициенты.
  • Делаем замену $a{f(x)}=t, t > 0$.
  • Получается квадратное уравнение вида $A·t2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
  • Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Способы разложения на множители:

  • Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

  1. Определить общий множитель.
  2. Разделить на него данный многочлен.
  3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Пример:

Разложить на множители многочлен: $10a{3}b-8a{2}b2+2a$.

Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:

$10a{3}b-8a{2}b2+2а=2a({10a{3}b}/{2a}-{8a{2}b2}/{2a}+{2a}/{2a})=2a(5a{2}b-4ab2+1)$

Это и есть конечный результат разложения на множители.

Применение формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.

$(a+b)2=a2+2ab+b2$

2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

$(a-b)2=a2-2ab+b2$

3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.

$a2-b2=(a+b)(a-b)$

4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.

$(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3$

5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.

$(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3$

6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.

$a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)$

7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.

$a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)$

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых.

В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку.

У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Пример:

Разложить многочлен на множители $2a3-a2+4a-2$

Решение:

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.

$2a3-a2+4a-2=(2a3-a2)+(4a-2)$

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

$(2a3-a2)+(4a-2)=a2(2a-1)+2(2a-1)$

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

$a2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a2+2)$

Произведение данных скобок – это конечный результат разложения на множители.

С помощью формулы квадратного трехчлена

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax2+bx+c$, то его можно разложить по формуле

$ax2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трехчлена

Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/logarifmicheskie_i_pokazatelnue_uravneniya

Перенос в уравнении через равно при умножении и делении

Перенос в уравнении через равно при умножении и делении

А.

Цель урока: изучение правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

Образовательные задачи урока:

Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;

Развивающие задачи урока:

развивать самостоятельную деятельность учащихся;

развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);

Воспитательные задачи урока:

воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;

Основные этапы урока

1. Оргмомент, сообщение цели урока и формы работы

«Если Вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать уравнения,

2.

Примеры.

Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

Ответы:

1. Является.

2. Не является.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на :

Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

3. Является.

Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на , чтобы избавиться от знаменателя.

Подумай, почему так важно, чтобы ? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет – обязательно загляни в тему «ОДЗ», чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах.

Подведем итоги:

  1. Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна .
  2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид: , где и – любые числа ; Линейное уравнение с двумя переменными: , где , и – любые числа .
  3. Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

    Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

    Политика конфиденциальности

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас.

При решении и преобразовании уравнений часто возникает потребность перенести слагаемое из одной стороны уравнения в другую. Необходимо отметить, что слагаемое может быть как со знаком «плюс», так и со знаком «минус». Правило говорит, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую необходимо поменять знак.
Также правило работает и для неравенств.

Примеры[править]

  • Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle 5x+2х=7x-6х} .

Перенесём сначала 5x из левой части уравнения в правую:

.

Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:

2+6=7x-5x

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус — на плюс.

Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

1. Линейные уравнения.

2. Квадратные уравнения.

3. Дробные рациональные уравнения.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да…) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего.

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b.

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

  1. Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x — 3) = 0 27 не равно 0, значит x — 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как это уравнение второй степени:

Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей.

Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Оно выглядит следующим образом:

, где и – любые числа и

Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

— «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:

Мы видим, что справа стоит , что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное.

Слайд 5)

Какое правило мы используем при решении?

— Нахождение неизвестного множителя.

Запишем несколько уравнений в тетрадь и решим их используя правила нахождения неизвестного слагаемого и уменьшаемого: (Слайд 7)

А как решить такое уравнение?

х + 5 = — 2х – 7 (Слайд 8)

Упростить мы не можем, т. к. подобные слагаемые находятся в разных частях уравнения, следовательно, необходимо их перенести.

Горят причудливо краски, И как ни мудра голова, Вы все-таки верьте в сказки Сказка всегда права.

Давным-давно жили-были 2 короля: черный и белый. Черный король жил в Черном королевстве на правом берегу реки, а Белый король – в Белом на левом берегу. Между королевствами протекала очень бурная и опасная река.

Переправиться через эту реку ни вплавь, ни на лодке было невозможно.

Источник: http://consulcentr.ru/perenos-v-uravnenii-cherez-ravno-pri-umnozhenii-i-delenii

Ваши права
Добавить комментарий